生成两个不同均值的样本数据np.random.seed(42)group1 = np.random.normal(50, 10, 100) # 均值为50，标准差为10group2 = np.random.normal(55, 12, 100) # 均值为55，标准差为12#

t-test 两组数据的均值t_stat, p_value = stats.ttest_ind(group1, group2)print(f”T-statistic: {t_stat}, P-value: {p_value}“)#

数据可视化plt.figure(figsize=(10, 6))#

密度图sns.kdeplot(group1, label=“Group 1 (Mean=50)”, color=“blue”, shade=True)sns.kdeplot(group2, label=“Group 2 (Mean=55)”, color=“red”, shade=True)#

箱线图plt.subplot(1, 2, 2)sns.boxplot(data=[group1, group2], palette=[“blue”, “red”])plt.xticks([0, 1], [“Group 1”, “Group 2”])#

plt.suptitle(“t-Test Analysis: Group Comparison”, fontsize=16)plt.tight_layout()plt.show()

在生成的图示中：

左侧部分呈现了两个组的核密度估计（KDE）曲线，清晰地描绘出各自的数据分布态势。右侧部分则以箱线图的形式，直观对比了两个组的中位数及四分位数分布情况。结合这两个图表，我们能够直观地洞察到两个组在均值层面上的显著差异。

z 检验（z-test）

原理：z 检验与 t 检验类似，主要在样本量较大且已知总体标准差的情况下使用。它能够用于检验单样本与总体均值的差异，也能够对两个样本的均值差异进行比较。

原假设（H0）：样本均值与总体均值不存在显著差异，或者两个样本均值无显著差异。备择假设（H1）：样本均值与总体均值有显著差异，或者两个样本均值有显著差异。

z 检验的核心公式为：。其中，为样本均值；为总体均值；为已知的总体标准差；为样本数量。

推导过程：在大样本的情形下，样本均值的分布近似为正态分布。计算样本均值与总体均值的差异，并将其标准化为 z 分布。依据 z 值在标准正态分布中查找 p 值。

优缺点：优点：z 检验适用于大样本数据，计算较为简单，且适用性广泛。缺点：要求已知总体标准差，主要适用于大样本，不适用于小样本数据。

适用场景：适用于已知总体方差的大样本数据。

z-test示例，使用一个标准的正态分布数据集import numpy as npimport seaborn as snsimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy import stats#

生成数据：一个已知均值和方差的总体np.random.seed(42)population_mean = 100population_std = 15n = 50#

从该总体中抽取样本sample = np.random.normal(population_mean, population_std, n)#

假设总体均值为105，进行单样本z检验sample_mean = np.mean(sample)sample_std = np.std(sample, ddof=1)z_stat = (sample_mean - 105) / (population_std / np.sqrt(n))p_value = 2 * (1 - stats.norm.cdf(abs(z_stat)))#

print(f”Z-statistic: {z_stat}, P-value: {p_value}“)

数据可视化plt.figure(figsize=(10, 6))#

核密度估计（KDE）显示样本的分布sns.kdeplot(sample, label=“Sample Distribution”, color=“green”, shade=True)#

添加总体均值和假设均值的竖线plt.axvline(np.mean(sample), color=‘blue’, linestyle=’—’, label=‘Sample Mean’)plt.axvline(105, color=‘red’, linestyle=’—’, label=‘Hypothetical Mean’)#

plt.legend()plt.title(“Z-Test: Sample vs Hypothetical Mean”)plt.tight_layout()plt.show()

• 核密度估计（KDE）展示了抽样数据的分布。
• 红色竖线表示假设的总体均值，蓝色虚线表示样本均值。这可以直观地看到样本均值与假设均值的偏差情况。

卡方检验（Chi-Square Test）

原理：卡方检验主要针对分类变量进行统计推断，其主要用途在于检验变量之间的独立性或者分类分布的拟合度。基本原理是对比观察到的频数与期望的频数之间的差异，以此来判断变量之间是否相互独立。原假设（H0）：变量之间彼此独立（不存在关联）。备择假设（H1）：变量之间不独立（存在显著关联）。核心公式：卡方检验的统计量公式为：(\chi ^{2}=\sum\frac{(O-E)^{2}}{E})。其中，(O)是观察值，(E)是期望值。推导过程：首先根据原假设计算出每个组合的期望频数。接着使用公式计算卡方统计量，也就是观察值与期望值之间的平方差除以期望值。然后查找卡方分布表，依据自由度和显著性水平来判断是否拒绝原假设。优缺点：优点：适用于分类数据，操作较为简单。尤其适合用于对样本频率进行显著性检验。缺点：需要有足够大的样本量，在小样本情况下可能得出错误的结论；同时，当期望频数较小时，卡方检验的效果不佳。适用场景：常常用于检验两个类别变量之间的独立性或者拟合优度。

import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltimport seaborn as snsfrom scipy.stats import chi2_contingency

创建列联表（例如性别和是否购买）data = {‘Gender’: [‘Male’, ‘Male’, ‘Female’, ‘Female’, ‘Male’, ‘Female’, ‘Female’, ‘Male’],‘Purchased’: [‘Yes’, ‘No’, ‘Yes’, ‘No’, ‘Yes’, ‘Yes’, ‘No’, ‘No’]}#

df = pd.DataFrame(data)

创建列联表contingency_table = pd.crosstab(df[‘Gender’], df[‘Purchased’])print(contingency_table)#

卡方检验chi2, p, dof, expected = chi2_contingency(contingency_table)print(f”Chi2 Statistic: {chi2}, P-value: {p}“)#

数据可视化plt.figure(figsize=(8, 6))sns.heatmap(contingency_table, annot=True, cmap=“YlGnBu”, fmt=“d”)plt.title(“Contingency Table Heatmap”)plt.show()#

图中显示了一个性别和是否购买的列联表（交叉表），并用热图可视化两个变量的频数分布。通过此表和图，可以观察到不同性别下是否购买的频率分布。

方差分析（ANOVA, Analysis of Variance）

原理：方差分析（ANOVA）主要用于比较多个组的均值，以判断这些组之间是否存在显著差异。其通过对比组间方差与组内方差的比值，来评估不同组的均值是否相同。

原假设（H0）：多个样本组的均值相等。备择假设（H1）：至少有一个样本组的均值不相等。

核心公式：ANOVA 使用的统计量是 F 值，公式为：

其中，是第组的均值；是总体均值；是第组的样本数；是总样本数；是组数。

推导过程：首先计算每组均值与总体均值之间的方差（组间方差）。接着计算每组内部数据与组均值的方差（组内方差）。然后通过 F 统计量的比值，查找 F 分布表，以判断是否拒绝原假设。

优缺点：优点：可以同时比较多个组，适用于多个样本组的均值差异检验。缺点：要求样本数据满足正态性，且各组之间的方差相等。

适用场景：用于比较三个或更多组之间的均值差异，常用于实验设计分析。

import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltimport seaborn as snsfrom scipy import stats

生成三个组的数据np.random.seed(42)group1 = np.random.normal(50, 10, 30)group2 = np.random.normal(55, 10, 30)group3 = np.random.normal(60, 10, 30)#

方差分析f_stat, p_value = stats.f_oneway(group1, group2, group3)print(f”F-statistic: {f_stat}, P-value: {p_value}“)#

数据可视化plt.figure(figsize=(12, 6))#

箱线图显示各组的分布sns.boxplot(data=[group1, group2, group3], palette=“Set3”)plt.xticks([0, 1, 2], [‘Group 1’, ‘Group 2’, ‘Group 3’])plt.title(“ANOVA Analysis: Group Comparison”)plt.show()#

箱线图展示了三个组的分布情况，包括每个组的中位数和四分位数。通过箱线图，可以直观地观察各组之间均值和数据分布的差异。

Mann-Whitney U 检验

原理：Mann-Whitney U 检验属于一种非参数检验方法，主要用于比较两个独立样本的分布是否相同，尤其在数据不满足正态分布的情况下非常适用。

原假设（H0）：两个样本的分布完全相同。备择假设（H1）：两个样本的分布不同。

核心公式：Mann-Whitney U 检验的统计量为 U 值，计算公式为：，，其中和分别是两个样本的样本量，是样本 1 的秩和。

推导过程：首先将两个样本的数据进行排序，并为其分配秩次。接着计算每个样本的秩和，进而计算 U 值。然后通过 U 值查找标准正态分布或 U 分布表，以此来判断是否拒绝原假设。

优缺点：优点：适用于非正态分布的数据，不要求方差相等。缺点：不能精确地评估均值，只能对分布进行比较。

适用场景：当两个独立样本的数据不满足正态分布时，常用于社会科学实验和非正态分布数据的分析。

import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltimport seaborn as snsfrom scipy.stats import mannwhitneyu

生成两个非正态分布的数据np.random.seed(42)group1 = np.random.exponential(scale=2, size=100)group2 = np.random.exponential(scale=3, size=100)#

Mann-Whitney U 检验u_stat, p_value = mannwhitneyu(group1, group2)print(f”U-statistic: {u_stat}, P-value: {p_value}“)#

数据可视化plt.figure(figsize=(10, 6))#

KDE 图显示分布差异sns.kdeplot(group1, label=“Group 1”, color=“blue”, shade=True)sns.kdeplot(group2, label=“Group 2”, color=“orange”, shade=True)plt.title(“Mann-Whitney U Test: Group Distributions”)plt.legend()plt.show()#

KDE图展示了两个组的分布差异，数据明显呈现非正态分布。通过这些图，可以观察两个组在分布形状上的不同。